52’lik bir deste iskambil kâğıdından 1 tek kart çekiliyor. Bu kartın kırmızı veya yüksek (onar) (10, J, Q, K, 1) olması ihtimali nedir?

1 destede 13 sinek (siyah)

1 destede 13 maça (siyah)

1 destede 13 kupa (kırmızı)

1 destede 13 karo (kırmızı)      kâğıt var.

K: Kırmızı kart olayı,

Y: Yüksek kart olayı olsun.

Destede 26 kırmızı kart var. O halde;

   P(K)=(26/52)=(1/2)                        dir.

Her on üçlük grupta 5 adet yüksek kart var. Toplam 20 yüksek kart var. O halde:

    P(Y)=(20/52)

    P(Y)=(5/13)                            dir.

Kırmızı gerçekleşmiş olduğu hallerde yüksek kart gerçekleşme ihtimali (şartlı ihtimal):
P(KnY)=P(K)xP(Y)
P(KnY)=(20/52)x(1/2)=(10/52)
P(KnY)=(10/52)

Olur.

K ve Y olaylarından en az birinin gerçekleşmesi ihtimalini
P(AUB)P(A)+P(B)-P(AnB)

Olarak bulmuştuk. Çekilen kartın kırmızı veya yüksek olması ihtimali:
P(KUY)=P(K)+P(Y)-P(KnY)

Dersek;
P(KUY)=(1/2)+(5/13)-(10/52)
P(KUY)=(36/52)

Bulunur.

Bu problemi şöyle de çözebiliriz:

K’nın ve Y’nin beraberce gerçekleşme hal sayısı=n₁

K gerçekleşsin, Y gerçekleşmesin hal sayısı=n₂

Y gerçekleşsin, K gerçekleşmesin hal sayısı=n₃

K ve Y’nin gerçekleşmediği hal sayısı=n₄

n₁=26–16=10

n₂=26–16=16

n₃=26–10=10

n₄=26–16=16

      n_toplam  =52      Olacaktır.

K ve Y ‘nin beraberce gerçekleşmesi ihtimali P(K.Y) veya  şöyle hesaplanıyordu:
P(K.Y)=(n₁/ n_toplam)=(10/52)
P(K)=(n₁+n₂)/( n_toplam)=(10+16)/(52)=(36/52)

K ‘nın gerçekleşmiş olduğu hallerde Y ‘nin gerçekleşmesi ihtimali ( şartlı ihtimal):

 P(Y/K)=(n₁)/( n₁+n₂)=(10)/(10+16)=(10/26) idi.
P(K.Y)=P(K  Y)=P(K).P(Y/K)
P(K.Y)=(10/52)=(26/52)x(10/56)

Bu ise (4) bağıntısının gerçekleşmesidir.

Problemde sorulan kırmızı veya yüksek (Y) kart çekme ihtimali (olaylardan en az birinin gerçekleşmesi ihtimali)

 Bu ihtimal;
P(K+Y) veya P(KUY) idi. Bu ise,

P(K+Y)=(n₁+n₂+n₃)/( n_toplam)=(10+16+10)/(52)=(26/52)

Veya 

P(K+Y)=P(K)+P(Y)-P(K.Y)
P(K+Y)=(n₁+n₂)/( n_toplam)+(n₁+n₃)/( n_toplam)-(n₁)/( n_toplam)
(36/52)=(10+16)/(52)+(10+10)/(52)-(10/52)

Bu ise (9) bağıntısının gerçekleşmesidir.

 

Yarısı kadınlarda diğer yarısı erkeklerden oluşan bir grup insan göz önüne alalım. Kadınların %20’si ve erkeklerin %60’ının hasta olduğunu varsayalım. Bu gruptan tesadüfen seçilen bir kişinin kadın veya hasta olma ihtimali nedir?

Gruptaki bütün insanların sayısı N olsun. K “kadın” ve H “hasta” olanları temsil etsin.

Erkeklerin ve kadınların sayıları ayrı ayrı N/2 olduğundan,

Hasta sayısı:

0,20(N/2)+0,60(N/2)=4.N/10 bulunur.

(N ‘nin tam sayı ve her şahsın seçilme şansının aynı olduğunu varsayıyoruz).

Böylece;

P(K)=1/2, P(H)=4/10,

P(H/K)=20/100 olur.
P(PnY)=P(K).P(H/K)=(1/2).(20/100)=1/10

       Değerini,
P(AUB)P(A)+P(B)-P(AnB)

Teoremini,
P(KUH)=P(K)+P(H)-P(KnH)

Şeklinde yazar ve yerine koyarsak;
P(KUH)=(1/2)+(4/10)-(1/10)=8/10 bulunur.

Grup toplam 100 kişi kadın sayısı=50 erkek sayısı=50 olsun. Hasta kadın sayısı %20 yani 10 ve hasta erkek sayısı %60 yani 30 olsun.

n₁=50*(20/100)=10 Hasta kadın sayısı

n₂=50*(80/100)=40 Sağlam kadınlar

n₃=40–10=30 Hasta erkekler

n₄=50–30=20 Sağlam erkekler ( K yok, H yok )

K ve H’nin beraberce gerçekleşme ihtimali;
P(K.H)=P(KnH)

Şöyle hesaplanıyordu:
P(KnH)=(n₁/ n_toplam)=(10/100)=1/10

(Hasta ve Kadın).

 K’nın gerçekleştiği hallerde H’nin gerçekleşmesi ihtimali (şartlı ihtimal):
P(H/K)=(n₁)/( n₁+n₂)=(10)/(10+40)=(1/5)

P(H/K)=P(K).P(H/K)
P(H.K)=(1/2)/(1/5)=1/10

                               (Hasta ve Kadın).

Problemlerde, 4. durumda H ve K gerçekleşmiyor. 1,2 ve 3. durumlarda K ve H gerçekleşiyor. O halde;
P(K+H)=P(KUH)=(n₁+n₂+n₃)/( n_toplam)
P(K+H)=(10+40+30)/100=8/10

Bulunur.

Eğer (9) bağıntısını A,B,C olayları için yazarsak;

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A.B)-P(A.C)-P(B.C)…(10)

Eğer, A,B,C birbirinden bağımsız iseler:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A).P(B)-P(A).P(C)-P(B).P(C)+P(A).P(B).P(C)...(11)

Formülü elde edilir.

Bağıntıyı genel olarak yazarsak;

 

P(A₁+A₂+…+A_k)= P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_k)

                             -P(A₁.A₂)+P(A₁.A₃)+…+P(A_k-1.A_k)

                                (bütün ikili tertipler)

                             +P(A₁.A₂.A₃)+P(A₁.A₂.A₄)+…+P(A_k-2.A_k)

                                 (üçlü tertipler)

                              -P(A₁.A₂.A₃.A)+P(A₁.A₂.A₃.A₅)+…

                                  (dörtlü tertipler)

                              -(-1)^k-1.P(A₁.A₂…A_k)

                                 (k’lı tertipler………………………(12)

Bu formülde P(A₁+A₂+…+A_k) ifadesi A₁,A₂,…,A_k olaylarından en az birinin gerçekleşmesi ihtimali anlamındadır.

Eğer A ve B olayları beraberce gerçekleşmiyorsa (9) formülünde P(A.B)=0 olur ve

P(A+B)=P(A)+P(B) olur………………………………..(13)

Genel olarak A₁,A₂,…,A_k olayları aralarında bir anda gerçekleşmiyorsa,

P(A₁+A₂+…+A_k)= P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_k)………….....(14) formülü elde edilir.